有趣的几何形状 10

本系列文章预计会有20个章节，这套文献将系统讲述物理学本身，这里是第六季第10篇

上一节我们介绍了分形宇宙的特点，也可以认为它是自然它界中存在的现象。今天我们谈谈几个数学推导。

混沌分形的代表人物曼德布罗特把康托尔集称为“康托尔尘埃”，大自然中的许多现象可用康托尔尘埃来描述。

康托尔集虽然看起来好像很简单，却是分形理论中最重要的分形模型。

首先，康托尔集是由迭代（反馈）产生的，像前所述，迭代是混沌的关键。其次，康托尔集是自相似的。从迭代的第二个步骤开始，每一步骤中的康托尔集都是由前两步的部分构成，尺度是原来的三分之一。

实际上，在讨论混沌的通往混沌的倍周期分岔图中，就在混沌发生时的费根鲍姆点上，在混沌发生前的最后一步，分岔图上的所有对称破缺点形成康托尔集，也预示混沌与分形是密不可分的。

中国兰州拉面具有三维广义康托尔集的特性，从康托尔集一维，发展到二维的马蹄形变换，或者叫中国兰州拉面的动力学过程，实际上是康托尔集的推广和延伸到平面上，再推广到立体上。

兰州拉面的本质是非线性的混沌结构。康托尔集在分形发展史上占有重要地位，也是这个集合引导了曼德布罗特的惊天发现。

1890年左右，意大利数学家皮亚诺构造了一种曲线，它以复杂的方式弯曲扭折，如果把它画在纸上，可以充满整张纸面。

纸面上没有哪一点是皮亚诺曲线无法到达的。人们知道平面的两个维度包括长度和宽度，而线是一维的，有长度但没宽度。

皮亚诺展示出，如何在一个平面中，放入一条弯弯曲曲的线，使它能经过每一点而永不重复。一维直线完全塞满二维平面！这意味着一个物体可以既是一维的，又是二维的！皮亚诺曲线是“试图”成为平面的一条比线更强的线，康托尔集是“试图”成为一点的一条比线更弱的线。

皮亚诺曲线

1904年，瑞典数学家柯赫设计了一条被称为“柯赫曲线”的图形，也满足处处连续处处不可微的条件。

柯赫曲线的生成过程很简单，以雪花曲线为例：先给出一个正三角形（作为原始形状），然后使每个边中间三分之一向外折起，这一操作常称作迭代规则，于是生成了一个有6个角12个边的对象。

第二步在此基础上，将每个小边中间三分之一去掉并向外折起。重复此操作，经过无穷次操作就得到了极限图形——柯赫曲线。

用柯赫曲线来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。

柯赫曲线

1916年，在康托尔集提出40年之后，波兰数学家谢尔宾斯基给出了一个名为“谢尔宾斯基三角形”的图形。

取一个大的正三角形，即等边三角形。连接各边的中点，得到4个完全相同的小正三角形，挖掉中间的一个，这是第一步。

然后将剩下的三个小正三角形按照上述办法各自取中点、各自分出4个小正三角形，去掉中间的一个小正三角形，这是第二步。

依此类推，不断划分出小的正三角形，同时去掉中间的一个小正三角形，这就是谢氏三角形的生成过程。和充满正方形的皮亚诺曲线一样，它在欧氏空间中也是不可度量的。

谢尔宾斯基三角形

这些所谓的“病态函数”图形主要是产生了无穷的嵌套，一个接一个，大的接小的，小的再接小的，产生无穷的拓扑嵌套现象。

当时，这些图形在数学家中引起了惊慌。过了半个世纪，数学界才被迫承认，这类曲线确实存在，但他们认为这类怪异的曲线与现实世界毫无关系。

从那时候开始，这些被认为没有数学意义的怪异图像成为科学领域研究的热点。如今，几乎任何一本关于分形的书都要提到这些例子。

它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。这些经典例子在德国科学家海因茨·奥托·佩特根等著的《混沌与分形——科学的新疆界》一书中有详细的介绍，这里不赘述。

分析学的成果表明，魏尔斯特拉斯函数并不是连续函数中的少数几个特例之一。尽管它是“病态”函数的一种，但可以证明，这种病态的函数事实上不在“少数”，甚至比那些“规则”的函数“多得多”。

然而，遗憾的是，这些伟大的数学家们却没有把它们的发现用来从理论上阐述自然界中存在的复杂几何形状，没有意识到这些“病态”的特例实际上是自然的“常态”。直到半个多世纪后，这些被认为是冷门的、病态的函数开启了全新的主流科学。

1982年，曼德布罗特出版《大自然的分形》一书，促使崭新的分形几何学诞生。由于曼德布罗特在分形方面的贡献，人们对这些分形结构有了一种新的认识。

曼德布罗特提出的分形几何思维打开了人们看待世界的一个全新视角。

Masir 2022/07/18

祝 愉快~

参考文献 

[1]《时空简史》

[2] 《决定论or随机论》

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